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Méthode Monte Carlo

vendredi 7 juillet 2006, par Vincent MAGNIN

Les méthodes Monte Carlo consistent en des simulations expérimentales ou informatiques de problèmes mathématiques ou physiques, basées sur le tirage de nombres aléatoires. Généralement on utilise en fait des séries de nombres pseudo-aléatoires générées par des algorithmes spécialisés. Les propriétés de ces séries sont très proches de celles d’une véritable suite aléatoire.

On peut par exemple approcher la valeur de Pi par une méthode Monte Carlo : on considère le cercle de rayon 1 inscrit dans un carré de côté 2. On tire un grand nombre de points au hasard dans ce carré. On calcule le rapport entre le nombre de points qui sont tombés dans le cercle et le nombre de points total. En multipliant ce rapport par 4 (aire du carré), on obtient une approximation de l’aire du disque, donc de Pi. Citons également la méthode des Aiguilles de Buffon.

La méthode Monte Carlo est également utilisée dans le domaine pharmaceutique : on génère in vitro de très nombreuses molécules aléatoires, puis on les passe au crible en testant leur effet sur tel ou tel cible. On repère ainsi des molécules intéressantes qui après étude et modification pourront donner naissance à de nouveaux médicaments. L’orientation actuelle est même de réaliser la même chose in silico, c’est-à-dire de modéliser et de tester ces molécules dans un ordinateur.

Figure 1
Etude Monte Carlo de 2854 photodiodes. On notera la résonance vers 0,2 µm et le palier après 1 µm.

La figure 1 illustre l’optimisation du rendement quantique d’une photodiode par méthode Monte Carlo. Il s’agissait ici d’optimiser l’épaisseur de plusieurs couches épitaxiales. Pour chacune des 2854 structures présentées, on a tiré au sort (à l’aide de nombres pseudo-aléatoires) les épaisseurs des couches dans un espace de recherche donné. Chaque structure a alors été évaluée à l’aide d’un modèle physique de propagation de la lumière qui nous a fourni le rendement quantique du composant.

Pour obtenir des résultats statistiquement fiables, il est nécessaire d’évaluer des centaines de structures, typiquement un millier. Ce nombre est bien sûr d’autant plus grand que le nombre de variables est élevé. Plus le nombre de structures évaluées est grand, plus on trouvera des structures de rendement quantique élevé. A la rigueur, un temps de calcul infini nous permettrait de trouver la structure optimale de notre espace de recherche. Le temps de calcul constitue une des faiblesses de ces méthodes dans le cadre du problème de l’optimisation.

Le grand avantage de cette méthode est sa simplicité. Elle permet entre autres de visualiser l’effet de différents paramètres et de donner ainsi des orientations, d’étudier des structures intéressantes qui auraient été a priori écartées et de trouver facilement des structures que l’on n’aurait pas aussi bien optimisées « à la main ».


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